¿QUE
SON Y COMO SE LO REALIZA Regla de tres compuesta
La regla
de tres o regla de tres simple
es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una
incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.
Regla de tres es la
operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros
tres.
La regla de tres más conocida es la regla
de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tres
simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y
pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera
efectiva.
Regla de tres simple
En la
regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos
valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y,
La
relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a
un mayor valor de A habrá un
mayor valor de B, y será
inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.
Regla de tres simple directa
La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad,
para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos
representar:
y diremos
que: A esa B directamente, como X esa Y, siendo Y igual
al producto de B por X dividido entre A.
Imaginemos
que se nos plantea lo siguiente:
|
Si necesito 8
litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para
pintar 5 habitaciones?
|
Este
problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado
que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos
así:
Regla de tres simple inversa
En la
regla de tres simples inversas, en la relación entre los valores se cumple que:
Donde e es un producto constante, para que
esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la
regla de tres simples inversas, tendremos:
y diremos
que: A esa B inversamente, como X esa Y, siendo Y igual
al producto de A por B dividido por X.
Si por
ejemplo tenemos el problema:
|
Si 8 trabajadores
construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar
el mismo muro?
|
Si se
observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más
obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro
(Suponiendo que todos
trabajen al mismo ritmo).
El total
de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden
ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60
horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número
total de horas permanece constante.
Tenemos
por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar
una regla de tres simples inversas, tenemos:
Regla de tres compuesta
En
ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas,
además de la desconocida. Observemos el siguiente ejemplo:
|
Si 12
trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos
trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?
|
En el
problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo.
Además, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra
directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es
evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos
trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos número de obreros
precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por
otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente
que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una
cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad
inversa.
El
problema se enunciaría así:
|
100 metros
son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas e Y trabajadores.
|
La
solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado
dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta
5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5
trabajadores no serían suficientes).
Formalmente
el problema se plantea así:
- La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelve así:
- A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:
- A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir, añadiendo el término C una sola vez):
lo que nos da la solución buscada.
El problema se puede plantear con todos los
términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas o
mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo
cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto
es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones
simples.
Campo de aplicación
Como se ha comentado, la regla de tres es un
mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puede establecer cuando
existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables
que intervienen. Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal
relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentido común y la
experiencia.
Ejemplos
Ubicamos
la incógnita en la primera posición:
Esto
formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π
radianes son 180 grados?". Así tenemos que:
Donde π es
el Número π.
Una
técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es
la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este
caso) dividido por el término que está frente a X.
- Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:
El
resultado es:
La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a
partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos
la desconocida.
Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas
sucesivamente.
Como entre las magnitudes se
pueden establecer relaciones de proporcionalidad
directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de
tres compuesta:
Regla de
tres compuesta directa
Ejemplo:
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han
consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del
vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
A más grifos, más euros
Directa.
A más horas, más euros
Directa.
9 grifos
10 horas
20 €
15 grifos
12 horas
x €
Regla de
tres compuesta inversa
5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias
construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas
diarias?
A menos obreros, más días
Inversa.
A más horas, menos días
Inversa.
5 obreros
6 horas
2 días
4 obreros
7 horas
x días
Regla de
tres compuesta mixta
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón
de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros
trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?
A más obreros, menos días
Inversa.
A más horas, menos días
Inversa.
A más metros, más días
Directa.
8 obreros
9 días
6 horas
30 m
10 obreros
x días
8 horas
50 m
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